Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego

Motywacją do zebrania różnych sposobów rozwiązania równania oscylatora harmonicznego:

$$m \frac{d^2 x(t)}{d t^2} = -k x(t)$$ (1)

jest notorycznie zadawane przez studentów pytanie: jak rozwiązać (1).

Równanie pojawia się wielokrotnie w wielu działach fizyki i jest standardowym przykładem stosowania różnych metod matematycznych fizyki (MMF). Zapisywane jest w kilku równoważnych równaniu (1) postaciach, np:

$$\ddot{x} + \omega^2 x =0, \quad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.$$ (2)

Niewiadomą jest funkcja $x(t)$, przy czym często pomija się argument funkcji, który nie występuje jawnie w równaniu (2). Fakt ten jest okolicznością pozwalającą na obniżenie rzędu równania¹, o czym napiszę dalej. Problem rozwiązania (1) można sformułować słownie w następujący sposób: jaka funkcja po dwukrotnym zróżniczkowaniu da samą siebie ze znakiem minus, dodatkowo pomnożoną przez pewną stała? Odpowiedź na takie pytanie jest wiadoma każdemu studentowi, który potrafi różniczkować: taką własność mają funkcje $\sin$ (sinus) i $\cos$ (kosinus). Parafrazując Lema , można powiedzieć, że taka odpowiedź zadowoli, być może, laika, ale nie jest wystarczająca dla umysłu ścisłego. Wypełnieniem tej próżni jest w zamierzeniu poniższy tekst. Przedstawiam dziewięć istotnie różnych sposobów ,,rozwiązania'' równania (2).