5 Metoda zespolona II

Opisany sposób pochodzi od Landaua i Lifszyca . Przekształcamy (2):

$$\ddot{x} + \omega^2 x = \frac{d}{dt} \left( \dot{x}-i \omega x... ...t( \dot{x}-i \omega x \right) + i \omega \left( \dot{x}-i \omega x \right) .$$

Podstawiamy za wyrażenia w nawiasach:

$$\zeta = \dot{x} - i \omega x,$$

co daje:

$$\dot{\zeta}+ i \omega \zeta = 0.$$ (13)

Równanie (13) jest równaniem pierwszego rzędu o zmiennych rozdzielonych. Jego rozwiązanie jest proste do uzyskania:

$$\frac{d \zeta}{dt} = - i \omega \zeta, \quad \to \quad \frac{d \zeta}{\zeta} = - i \omega dt.$$

Całkując obustronnie otrzymujemy:

$$\int \frac{d \zeta}{\zeta} = \ln{\zeta} = -i \omega t + const,$$

czyli:

$$\zeta(t) = A e^{-i \omega t}.$$

Teraz musimy rozwiązać równanie niejednorodne:

$$\dot{x} - i \omega x = A e^{-i \omega t}.$$ (14)

Rozwiązanie równania (14) składa się z dwóch członów: rozwiązania równania jednorodnego:

$$\dot{x} - i \omega x = 0$$ (15)

i dowolnego (jakiegokolwiek) rozwiązania równania niejednorodnego (14). Rozwiązanie (15) można uzyskać identycznie jak (13), co daje:

$$x(t) = B e^{i \omega t}.$$ (16)

Rozwiązanie r. niejednorodnego otrzymamy metodą uzmienniania stałych. Zakładamy, że $B$ w (16) jest funkcją czasu $B \equiv B(t)$, i wstawiamy do (14):

$$\dot{B} e^{i \omega t} + B i \omega e^{i \omega t} - i \omega B e^{i \omega t} = A e^{-i \omega t},$$

po uproszczeniu:

$$\dot{B} e^{i \omega t} = A e^{-i \omega t}, \quad \to \quad \dot{B} = A e^{-2 i \omega t}.$$

Całkując obustronnie ostatnie równanie po czasie dostajemy:

$$B(t) = \int A e^{-2 i \omega t} dt = -\frac{A}{2 i \omega} e^{-2 i \omega t} + const.$$

Stałą bierzemy równą zeru, bo interesuje nas jakiekolwiek rozwiązanie. Ostatecznie dostajemy:

$$x(t) = B e^{i \omega t} -\frac{A}{2 i \omega} e^{-2 i \omega t} e^{i \omega t} = \alpha e^{i \omega t} + \beta e^{-i \omega t}.$$

gdzie podstawiłem $B = \alpha, -A/(2 i \omega)= \beta$.