6 Metoda szeregów potęgowych

W tej części, aby nie zaciemniać procedury, rozważymy postać (2) z $\omega=1$:

$$\ddot{x} + x = 0,$$   z warunkami początkowymi:$$\quad x(0)=1, \dot{x}(0) = 0.$$

Rozwiązania poszukujemy w postaci szeregu potęgowego:

$$x(t) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n,$$

gdzie $a_n$ to nieznane liczby. Obliczamy pochodne:

$$\dot{x} = \sum_{n=0}^\infty n a_n x^{n-1}, \quad \ddot{x} = \sum_{n=0}^\infty n (n-1) a_n x^{n-2}.$$

Przenumerowujemy pierwszą sumę:

$$\ddot{x} = \sum_{n=0}^\infty n (n-1) a_n x^{n-2} = \sum_{n=0}^\infty (n+2) (n+1) a_{n+2} x^{n}$$

Wstawiając do równania otrzymujemy:

$$\sum_{n=0}^\infty (n+2) (n+1) a_{n+2} x^{n} + \sum_{n=0}^\infty... ... \sum_{n=0}^\infty \left[ (n+2) (n+1) a_{n+2} + a_n \right] x^{n} = 0.$$

Aby wyrażenie po lewej stronie było równe zero tożsamościowo, wszystkie współczynniki w nawiasach muszą być równe zeru:

$$(n+2) (n+1) a_{n+2} + a_n.$$ (17)

Otrzymaliśmy równanie rekurencyjne, które notabene wcale nie jest specjalnie łatwiejsze do rozwiązania niż różniczkowe. W tym przypadku jest to dosyć łatwe. Aby rozpocząć iterację (17) potrzebujemy podać dwa pierwsze wyrazy ciągu: $a_0$ i $a_1$. Korzystając z warunków początkowych dostajemy:

$$x(0) = a_0 , \qquad \dot{x}(0) = a_1.$$

Bierzemy $a_0=1$ i $a_1=0$. Kolejne wyrazy ciągu (17) to:

$$a_0 =1, a_1=0, a_2 = -\frac{a_0}{1 \cdot 2} = -\frac{1}{2}, a_3 = 0 , a_4 = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}, \ldots$$

Widać, że nieparzyste wyrazy ciągu są równe zeru, a parzyste:

$$a_{2n} = \frac{(-1)^n}{(2 n)!}.$$

Suma:

$$x(t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2 n)!} x^{2 n} = \cos{x}.$$