3 Zasada zachowania energii

Równanie (2) nie zawiera ,,czasu'' $t$ w sposób jawny. Oznacza to możliwość obniżenia rzędu równania o jeden. Z fizycznego punktu widzenia w układzie (1) jest zachowana energia. Mnożymy (1) przez $\dot{x}$ i przenosimy wszystkie składniki na lewą stronę:

$$m \ddot{x} \dot{x} + k x \dot{x} = 0.$$

Całkujemy obustronnie po czasie ( $\int \ldots dt$):

$$\int m \dot{x} \ddot{x} dt + \int k x \dot{x} dt = E$$ (10)

gdzie wszystkie stałe całkowania zostały przeniesione na prawą stronę i oznaczone literą $E$. Całki (10) są łatwe do obliczenia, pomimo że zawierają nieznaną (dowolną) funkcję czasu $x(t)$. W pierwszej stosujemy podstawienie $u=\dot{x}(t)$, a w drugiej $w=x(t)$:

$$\dot{x}(t)=u, \to \ddot{x} dt = du, \quad x(t)=w, \to \dot{x} dt = dw,$$

czyli:

$$m \int u du + k \int w dw = E, \quad \to \quad m \frac{u^2}{2} + k \frac{w^2}{2} = E.$$

Ostatecznie otrzymujemy:

$$\frac{1}{2} m \dot{x}^2 + \frac{1}{2} k x^2 = E.$$ (11)

Równanie (11) każdy fizyk powinien potrafić napisać natychmiast jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej.

Wychodząc od (11) można rozwiązać (1). Przepisujemy (11) podstawiając $\dot{x} \equiv dx/dt$:

$$\frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2E-k x^2}{m}}.$$

Powyższe jest równaniem o zmiennych rozdzielonych. Przenosimy wszystkie wyrazy zawierające $x$ (w tym $dx$) na lewą stronę, natomiast $t$ na prawą:

$$\frac{dx}{ \sqrt{\frac{2E-k x^2}{m}}} = dt.$$

Całkujemy obustronnie:

$$\int \frac{dx}{ \sqrt{\frac{2E-k x^2}{m}}} = \int dt.$$

Aby obliczyć całkę po prawej stronie przekształcamy:

$$\int \frac{dx}{ \sqrt{\frac{2E-k x^2}{m}}} = \sqrt{\frac{m}{2E}} \int \frac{dx}{\sqrt{1-\frac{k}{2E} x^2}}.$$

Podstawiamy:

$$\sqrt{\frac{k}{2E}} \; x = u, \quad \to \quad dx = \sqrt{\frac{2E}{k}} \; du$$

co daje:

$$\sqrt{\frac{m}{k}} \int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}} = \sqrt{\frac{m}{k} } \arcsin{u}.$$

Rozwiązanie ma postać (stała całkowania została oznaczona przez $\phi$):

$$\arcsin{u} = \sqrt{\frac{k}{m} }\; t + \phi.$$

Podstawiając $\sqrt{k/m} = \omega$ i $u = x \sqrt{k/(2E)}$, dostajemy ostatecznie:

$$x(t) = \sqrt{\frac{2E}{k}} \sin{(\omega t + \phi)}.$$ (12)

Przy okazji dostajemy jako ,,bonus'' znany związek amplitudy drgań z energią:

$$E = \sqrt{\frac{2E}{k}},$$   czyli:$$\quad A = \frac{1}{2} k A^2.$$