2 Równanie charakterystyczne dla problemu liniowego

Ogólna metoda rozwiązywania równań i układów liniowych równań różniczkowych zwyczajnych opiera się o podstawienie:

$$x(t) = e^{\lambda t}.$$ (6)

Postawienie (6) sprowadza równanie różniczkowe do równania algebraicznego, które daje tyle różnych³ wartości $\lambda$, ile wynosi rząd równania. Równania odpowiadające różnym wartościom $\lambda$ są liniowo niezależne, a rozwiązanie ogólne będzie miało postać:

$$x(t) = A_1 e^{\lambda_1 t} + A_2 e^{\lambda_2 t}.$$ (7)

Dla równania (2) procedura wygląda następująco. Obliczamy pierwszą i drugą pochodną:

$$\dot{x} = \lambda e^{\lambda t}, \quad \ddot{x} = \lambda^2 e^{\lambda t}.$$ (8)

Warto zauważyć, że różniczkowanie eksponenty sprowadza się w tym przypadku do mnożenia przez $\lambda$. Wstawiając (8) do (2) otrzymujemy:

$$\lambda^2 e^{\lambda t} + \omega^2 e^{\lambda t} = \left( \lambda^2 + \omega^2 \right) e^{\lambda t} =0.$$

Z powyższego otrzymujemy równanie charakterystyczne o niewiadomej $\lambda$:

$$\lambda^2 = - \omega^2.$$

Jest to równanie kwadratowe z $\Delta<0$, posiadające dwa rozwiązania urojone:

$$\lambda_1 = i \omega, \; \lambda_2 = - i \omega.$$ (9)

Wstawiając (9) do (7) otrzymujemy rozwiązanie ogólne, identyczne z (3c).