1 Ansatz

Równanie (2) jest na tyle ważne, że jego rozwiązanie każdy szanujący się fizyk powinien umieć podać z pamięci. Gdyby ogłoszono plebiscyt na 10 najważniejszych równań fizyki, równanie (2) wraz z jego rozwiązaniem z pewnością znalazłoby się na tej liście. Trzy podstawowe postacie rozwiązania ogólnego to:

$$\begin{equation} x(t) = a \cos{\omega t} + b \cos{\omega t} \end{equation} \begin{equation} x(t) = A \sin{(\omega t+\phi)} \quad x(t) = A \cos{(\omega t+\phi)}. \end{equation} oraz posta... ... x(t) = \alpha \; e^{i \omega t} + \beta \; e^{-i \omega t}. \end{equation}$$

Aby postać (3c) dawała rozwiązanie rzeczywiste ², liczby zespolone $\alpha$ i $\beta$ muszą być sprzężone: $\beta = \bar{\alpha}$.

Dla przykładu, sprawdzimy postać (3b). Obliczamy pierwszą pochodną po $t$:

$$\dot{x} \equiv \left( A \sin{\omega t + \phi} \right)' = A (\sin{... ...ega t + \phi)} \cdot (\omega t + \phi)' = A \omega \cos{( \omega t + \phi )}$$

oraz drugą pochodną (tj. pochodną pierwszej pochodnej):

$$\ddot{x} \equiv \left( A \omega \cos{\omega t + \phi} \right)' = -A \omega^2 \sin{(\omega t + \phi)}.$$

Po wstawieniu do (2) otrzymujemy:

$$-A \omega^2 \sin{(\omega t + \phi)} + \omega^2 \cdot A \sin{(\omega t + \phi)} = 0,$$

bo obydwa wyrazy upraszczają się. Analogicznie można sprawdzić prawdziwość postaci (3a).

Użycie postaci zespolonej (3c) wymaga komentarza. Równanie (2) jest liniowe, czyli każda kombinacja liniowa rozwiązań $x_1(t)$ i $x_2(t)$ też jest rozwiązaniem:

$$x(t) = \lambda_1 x_1(t) + \lambda_2 x_2(t),$$ (4)

co łatwo sprawdzić wstawiając (4) do (2):

$$\left( \lambda_1 x_1(t) + \lambda_2 x_2(t) \right)'' + \omega_2 \... ...} + \lambda_2 \ddot{x}_2 + \lambda_1 \omega^2 x_1 + \lambda_2 \omega_2 x_2 =$$

$$= \lambda_1 \left( \ddot{x}_1 + \omega^2 \ddot{x}_1 \right) ... ... + \omega^2 \ddot{x}_2 \right) = \lambda_1 \cdot 0 + \lambda_2 \cdot 0 = 0,$$

bo funkcje $x_1$ i $x_2$ z założenia spełniają (2).

Jeżeli teraz wybierzemy $\lambda_1=1$ oraz $\lambda_2 = i$, to możemy rozwiązać równanie zespolone (2), a na koniec wziąć część rzeczywistą. Jeżeli potraktujemy (dla uproszczenia rachunku) liczby $\alpha$ i $\beta$ w 3c jako zespolone:

$$\alpha = \alpha_1 + i \alpha_2, \qquad \beta = \beta_1 + i \beta_2,$$

to otrzymamy:

$$Re \left[ (\alpha_1 + i \alpha_2) e^{i \omega t} + (\beta_1 + i \... ... (\alpha_1+\beta_1) \cos{\omega t} + (\beta_2-\alpha_2) \sin{\omega t},$$

gdzie wykorzystano fundamentalną tożsamość:

$$e^{i \phi} = \cos{\phi} + i \sin{\phi}.$$ (5)

Równanie (5) znane jest jako wzór Eulera.