9 Równanie Hamiltona-Jacobiego

Rozwiązanie równań ruchu układu opisanego pewnym hamiltonianem, jest równoważne szukaniu rozwiązań (cząstkowego) równania Hamiltona-Jacobiego:

$$\frac{\partial S(t,x)}{\partial t} + \mathcal{H} \left( \frac{\partial S(t,x)}{\partial x}, x \right) = 0.$$

Dla oscylatora harmonicznego, hamiltonian ma postać (19), i podstawiając do niego $p = \partial Spartial x$ dostajemy:

$$\frac{\partial S(t,x)}{\partial t} + \frac{1}{2m} \left( \frac{\partial S(t,x)}{\partial x}\right)^2 +\frac{1}{2} m \omega^2 x^2=0.$$ (20)

Rozwiązania szczególnego (całki zupełnej) szukamy w postaci rozseparowanej:

$$S(t,x) = - E t + s(x).$$

Wstawiając powyższe wyrażenie do (20) otrzymujemy:

$$\frac{1}{2m} \left( \frac{d s(x)}{d x}\right)^2 +\frac{1}{2} m \omega^2 x^2=E.$$

Powyższe jest równaniem zwyczajnym o zmiennych rozdzielonych. Jego rozwiązanie to:

$$s = \int \sqrt{2 m E - m^2 \omega^2 x^2} \; dx.$$

Całka jest typu:

$$\int \sqrt{1-x^2} dx = \frac{1}{2} \left( x \sqrt{1-x^2} + \arcsin{x} \right),$$

co ładnie ,,wyprowadza'' Wolfram Alpha . Po całkowaniu i uporządkowaniu wyrazów mamy:

$$s(x) = \frac{1}{2} x \sqrt{2 m E - m^2 \omega^2 x^2} + \frac{E}{\omega} \arcsin{\left( \sqrt{\frac{m}{2 E}} \omega x\right)}$$

natomiast całka zupełna równania (20) to:

$$S(t,x) = - E t + s(x) = - E t + \frac{1}{2} x \sqrt{2 m E -... ... + \frac{E}{\omega} \arcsin{\left( \sqrt{\frac{m}{2 E}} \omega x\right)}.$$

Zależność położenia od czasu jest wyznaczona w sposób uwikłany pochodną czasową całki zupełnej względem energii $E$:

$$\frac{\partial S(t,x)}{\partial E} = -t_0.$$

Obliczenie pochodnej cząstkowej po $E$ jest uciążliwe, ale ostatecznie wyrazy nie zawierające $\arcsin$ upraszczają się:

$$\frac{\partial s(x)}{\partial E} = \frac{1}{\omega} \arcsin{\left( \sqrt{\frac{m}{2 E}} \omega x\right)},$$

otrzymując:

$$\arcsin{\left( \sqrt{\frac{m}{2 E}} \omega x \right) } = \omega (t - t_0).$$

Działając obustronnie funkcją $\sin$ dostajemy:

$$\sqrt{\frac{m}{2 E}} \omega x = \sin{\left( \omega (t - t_0) \right)},$$

czyli:

$$x = \frac{1}{\omega} \sqrt{\frac{2 E}{m}} \sin{\left( \omega (t - t_0) \right)}.$$

Końcowy wynik jest identyczny z (12), bo $\omega = \sqrt{k/m}$).

Pochodna $\partial S(t,x)partial x$ z kolei daje pęd:

$$p = \frac{\partial S}{\partial x} = \sqrt{2 m E - m^2 \omega^2 x^2}.$$

Warto zauważyć, że równanie Hamiltona-Jacobiego przypomina równanie Schrodingera, natomiast stała $t_0$ określa translację w czasie, zgodnie z sensem zasady zachowania energii; po energii $E$ różniczkujemy całkę zupełną.