Rozwiązanie prostego równania różniczkowego zwyczajnego. C[1] oznacza dowolna stałą a prim różniczkowanie.

DSolve[y'[x] == Exp[x], y[x], x]

Argument funkcji musi byc zawsze podany, czyli y[x] a nie samo  y

DSolve[y' == Exp[x], y, x]

W tym przykładzie widać, że DSolve wywołuje instrukcję Solve, która wyświetliła komunikat informujący o użyciu funkcji odwrotnej:

DSolve[y'[x] == Exp[y[x]], y[x], x]

W przykładzie wyżej proponowane użycie Reduce nie dotyczy DSolve, uzyskujemy jedynie inną formę r. wyjściowego:

Reduce[y'[x] == Exp[y[x]], y[x]]

\(Rozwiązanie\ r . \ 
          różniczkowego\ spełniajacego\ warunek\ poczatkowy\ y[x0] == 
      y0 . \ Inaczej\ mówiąc\ szukamy\ rozwiązania\ przechodzącego\ przez\ punkt\ \(\({x0, y0}\)\(.\)\)\)

DSolve[{y'[x] == Exp[x], y[x0] == y0}, y[x], x]

DSolve[{y'[x] == Exp[y[x]], y[0] == E}, y[x], 
      x]

DSolve[{y'[x] == Exp[y[x]^2], y[0] == 0}, y[x], 
      x]

Wynikiem DSolve jest reguła transformacyjna na funkcję y[x]. Aby "wydobyć" samo wyrażenie musimy zastosować regułę do funkcji y[x]. Jest to bardzo często spotykana konstrukcja.

f  =  (y[x]  /.  %)[[1]]

Wynik DSolve jest często kombinacją funkcji specjalnych lub bardzo skomplikowanym wyrażeniem. Pewne wyobrażenie o wyniku może nam dać np. rozwinięcie w szereg potęgowy (Series). "Normal" usuwa symbol O[x]. Jak widać funkcja InverseErf[0, ((2 x)/(Sqrt[π]))] okazuje się bardzo podobna do tangensa w otoczeniu punktu zero.

fs  =  
      Series[f, {x, 0, 6}]   //  Normal

Series[Tan[x], {x, 0, 6}]

Plot[{f, fs, Tan[x]}, {x, -1, 1}]

DSolve[{y'[x] == Exp[-y[x]], y[0] == 0}, y, 
      x]

Czasem rozwiązanie jest zupełnie bezużyteczne, lub  w bardzo dziwnej postaci.

DSolve[{y'[x] == Exp[-y[x]^2], y[0] == 0}, y, 
      x]

Poprawne rozwiązanie powyższego równania to Erfi^(-1)[2 x / Sqrt[Pi]]:

D[InverseFunction[Erfi][2 x/Sqrt[Pi]], x] == 
      Exp[-InverseFunction[Erfi][2 x/Sqrt[Pi]]^2]

W tym wypadku otrzymujemy zbiór pusty jako rozwiązanie

DSolve[{y'[x] == Exp[-y[x]^3], y[0] == 0}, y[x], 
      x]

To samo równanie jest bez problemu rozwiązywane numerycznie:

NDSolve[{y'[x] == Exp[-y[x]^3], 
        y[0] == 0}, y[x], {x, -1, 1}]

Plot[y[x]  /.  %,  {x, -0.9, 1}]

Kilka innych przykładów:

DSolve[{y'[x] == Exp[-Sqrt[y[x]]], y[0] == 0}, 
      y[x], x]

DSolve[{y'[x] == Exp[-Sin[y[x]]], y[0] == 0}, y[x], 
      x]

DSolve[{y'[x] == Exp[-y[x]^x], y[0] == 0}, y[x], 
      x]

s = 
      y[x]  /.  NDSolve[{y'[x] == Exp[-Sin[y[x]]], 
            y[0] == 1}, y[x], {x, -10, 10}]

sol[y0_] :=  
      y[x]  /.  NDSolve[{y'[x] == Exp[-Sin[y[x]]], 
            y[0] == y0}, y[x], {x, -10, 10}]

sol[0]

Plot[Evaluate[sol[1]], {x, -10, 10}]

<< Graphics`

Table[
        Plot[Evaluate[sol[y0]], {x, -10, 10}, 
          PlotRange -> {{-10, 10}, {-10, 10}}], {y0, -5, 5, 
          0.1}];

NDSolve[{y'[x] == Exp[-Abs[y[x]]^x], y[0] == 0.1}, 
      y[x], {x, -2, 2}]

Seria rozwiazań przechodzących przez punkt {0,y0} dla y0 w przedziale {-1,1} co 0.1 jako animacja. (Kliknij dwa razy na rysunek poniżej aby odtworzyć animację)

Table[  Plot[
        Evaluate[
          y[x]  /.  NDSolve[{y'[x] == Exp[-Abs[y[x]]^x], 
                y[0] == y0}, y[x], {x, -2, 2}]],  {x, -2, 2}, 
        PlotRange -> {{-2, 2}, {-2, 2}}], {y0, -1, 1, 
        0.1}]

To samo na jednym wykresie:

Table[

y[
          x]  /.  
NDSolve[
{y'[
                x] == Exp[-Abs[y[x]]^x], y[0] == y0}, 
          y[x], {x, -5, 
            5}
]
, {y0, -1, 1, 
        0.1}
]

Plot[Evaluate[%]
,  {x, -5, 5}, 
      PlotRange -> {{-5, 5}, {-2, 
            2}}
]