Quit[]

(*r={x[t],y[t],z[t]};*)

r={x,y,z}; (* Rachunek wykonamy we współrzędnych kartezjańskich *)

(*V={
Vx[t,x[t],y[t],z[t]],
Vy[t,x[t],y[t],z[t]],
Vz[t,x[t],y[t],z[t]]
};*)

V={
Vx[t,x,y,z],
Vy[t,x,y,z],
Vz[t,x,y,z]
}; (* Definiujemy pole wektorowe prędkości płynu *)

(*pochodnaSubstancjonalna = D[V,t]/.{
x'[t]->Vx[t,x[t],y[t],z[t]],
y'[t]->Vy[t,x[t],y[t],z[t]],
z'[t]->Vz[t,x[t],y[t],z[t]]
}*)

pochodnaSubstancjonalna = Inactive[
Dt[V,t]/.
{
Dt[x,t]->V[[1]],
Dt[y,t]->V[[2]],
Dt[z,t]->V[[3]]
}
]

lambIdentity=Inactive[1/2*Grad[V.V,r]-Cross[V,Curl[V,r]]]

pochodnaSubstancjonalna-lambIdentity//Activate//Simplify

D[V,t]

%-%%

V={Ω[Sqrt[x^2+y^2],z]y,-Ω[Sqrt[x^2+y^2],z]x,0}

Curl[V,r]//Simplify

pochodnaSubstancjonalna//Activate//Simplify

lambIdentity//Activate//Simplify

%-%%

Curl[lambIdentity//Activate//Simplify,r]//FullSimplify

r

V

Curl[Cross[V,Curl[V,r]],r]//Simplify

2 Ω[(Sqrt[(x^2)+(y^2)]),z] Derivative[0,1][Ω][(Sqrt[(x^2)+(y^2)]),z]{-y,x,0}

%-%%

Powyższy wzór można zapisać w TEX-u bardziej czytelnie. Wnioski z niego są znaczące: otrzymany wektor musi być tożsamościowo równy zero dla każdego ,,rotującego’’ płynu (gazu, cieczy). Oznacza to, że prędkość kątowa może zależeć WYŁĄCZNIE od zmiennej radialnej we współrzędnych cylindrycznych. Innymi słowy, prędkość kątowa musi być stała na cylindrach r=const.

Wynik opisany wzorem powyżej jest, oględnie mówiąc, dziwnaczny i sprzeczny  z intuicją. Oznacza m.in., że prędkość kątowa w centrum obiektu jest taka sam jak na powierzchni, na biegunach! Stanowi onn rodzaj paradoksu i został sformułowany w sposób ścisły jako Twierdzenie Poincare-Wavre.

Grawitacja powierzchniowa (ang. effective gravity)  to suma natężenia pola grawitacyjnego  i przyspieszenia odśrodkowego

Dla samograwitującego ciała w stanie stacjonarnym o czystej rotacji poniższe zdania są równoważne:

Rotacja jest cylindryczna:  .

Powierzchnie  and  pokrywają się.

Grawitacja powierzchniowa  ma potencjał.

Wektor  jest prostopadły do izobar  (w szczególności do powierzchni  ).

Obiekt spełniający powyższe założenia nazywamy \textit{barotropą}. Spełnia ona równanie



gdzie  to potencjał odśrodkowy.