Quit[]

Φ=-GM/Sqrt[x^2+y^2+z^2]-1/2 Ω^2 (x^2+y^2) (* Potencjał siły grawitacyjnej i bezwładności na orbicie kołowej *)

(*Φ=-GM/Sqrt[x^2+y^2+z^2]-GM/d^2 (x-d)*) (* Potencjał siły grawitacyjnej i bezwładności przy swobodnym spadku radialnym. Proszę sprawdzić, jak wtedy działa siła pływowa, często określana mianem ,,spagettifikacji''.  *)

Φd=(Φ/.{x->d+X,y->Y,z->Z})-(Φ/.{x->d,y->0,z->0}) (* Przechodzimy do układu współrzędnych o środku w punkcie, gdzie siły się równoważą *)

Φ1=Series[Φd,{X,0,2},{Y,0,2},{Z,0,2}]//Normal//PowerExpand (* Formalne rozwinięcie f. 3 zmiennych. ZADANIE: jak w MAthematice elegancko wyciągnąć z tego TYLKO wyrazy kwadratowe. *)

Φ2=Table[If[i+j+k>2,Nothing,1/i!1/j!1/k!(D[Φd,{X,i},{Y,j},{Z,k}]/.{X->0,Y->0,Z->0})X^i Y^j Z^k],{i,0,2},{j,0,2},{k,0,2}]//Flatten//Total//PowerExpand (* Interesujące nas rozwinięcie, w którym pomijamy WSZYSTKIE wyrazy w któych suma potęg jest większ niż 2. Obliczone z definicji szeregu potęgowego.  *)

Φ2 /. Ω->Sqrt[GM/d^3]//Simplify

%/.GM->Ω^2 d^3

(* Jak widzimy, siła pływowa w kierunku radialnym rozciąga 3x silniej niż ściska w kierunku prostopadłym do płaszczyzny orbitalnej. CO zaskakuje, BRAK siły pływowej w płaszczyźnie orbitalnej w kierunku poruszania się ciała. Ponieważ potencjał jest kwadratowy, tak samo jak dla siły odśrodkowej,  aparat matematyczny rotujących elipsoid Maclaurina i Jacobiego może być zastosowany niemal bez zmian. Zgodnie z tw. Feynmanna ,,takie same równania mają takie same rozwiązania'' otrzymujemy tzw. elipsoidy Roche'a.  *)