Rachunek tensorowy przy użyciu indeksów pozwala nam zapisywać operacje przenoszące z przestrzeni wektorowych, przestrzeni dualnych i iloczynu tensorowego tych przestrzeni w kompaktowy sposób, i wykonywać je poprzez sumację zamiast użycia macierzy.

Obiekty, na których możemy działać:

$v^\mu$ - wektor kontrawariantny, element przestrzeni wektorowej;

$w_\mu$ - wektor kowariantny, element przestrzeni dualnej;

By istniało odwzorowanie pomiędzy tymi dwoma przestrzeniami, musi istnieć metryka. Metryką czasoprzestrzeni Minkowskiego jest $$\eta_{\mu\nu} = diag(1, -1, -1, -1).$$

Mając metrykę, możemy znaleźć element dualny $$v_\mu = v^\alpha \eta_{\alpha \mu}.$$

Działanie możemy też przeprowadzić w drugą stronę, korzystając z metryki odwrotnej $\eta^{\mu\nu} = diag(1, -1, -1, -1) = \eta_{\mu\nu}.$ Jak widzimy, jest odwrotna sama do siebie.

Metryka spełnia też funkcję iloczynu skalarnego $$v \cdot w = v^\alpha w_\alpha = \eta_{\alpha \beta} v^\alpha w^\beta.$$ W naszej notacji metryka spełnia również funkcję 'obniżającą' (a odwrotna 'podwyższającą') indeksy martwe.

Bardziej skomplikowane obiekty tworzymy przez złożenie $T_{\mu\nu}$ - tensor rzędu drugiego, element przestrzeni iloczynu przestrzeni dualnych; kolejność indeksów i ich wysokość są ważne.

Specjalnym obiektem jest delta Kroneckera $$\eta^{\mu\alpha} \eta_{\alpha\nu} = \delta^{\mu}_{\nu} = diag(1, 1, 1, 1).$$ W algebrze tensorowej spełnia ona funkcję zmieniającą nazwę indeksu $$v^\mu = v^\alpha \delta^\mu_\alpha.$$

Metryki można użyć do przeprowadzenia operacji kontrakcji. Operacja ta w przypadku macierzy dwuwymiarowej da nam ślad macierzy, co możemy sobie sprawdzić wykonując sumę explicite: $$T^\alpha_\alpha = T^{\alpha\beta} \eta_{\alpha\beta} = Tr(T).$$

W każdym równaniu po obydwu stronach musi być tyle samo indeksów żywych (bo reprezentują przynależność do przestrzeni tensorowej będącej odpowiednią kombinacją przestrzeni wektorowych i dualnych) oraz martwych (bo reprezentują one przeprowadzanie elementu przestrzeni wektorowej w skalar przy użyciu elementu dualnego). Martwe indeksy można przemianować na inny, co pozwala nam zauważyć pewne zależności. Jeżeli trzymamy się tych reguł, możemy bez problemu pomnożyć obie strony równania tensorowego przez np. wektor, metrykę czy deltę Kroneckera i zostanie zachowana równość.

Oprócz tego proszę pamiętać o operacji symetryzacji i antysymetryzacji z zestawu piątego.

Transformacja Galileusza pozwala nam działać na 'czasoprzestrzeni' takiej, na jakiej Newton zdefiniował swoje prawa. Jednak przy analizie praw fizycznych szybko pojawia się problem -- transformacja Galileusza wyróżnia obserwatora np. praw Maxwella. Jeżeli taki wyróżniony układ miałby istnieć, to eksperymenty powinny go być w stanie zidentyfikować.

Jednak na przełomie wieków XIX i XX, wszystkie eksperymenty pokazywały niezmienniczość praw Maxwella. Doprowadziło to do powstania zasady względności: prawa fizyki wyglądają tak samo we wszystkich inercjalnych układach odniesienia.

Zasada ta jest podstawą fizyki relatywistycznej; w formie ograniczonej do układów inercjalnych prowadzi do szczególnej teorii względności.

Transformacje spełniające wymagania transformacji Lorentza działają w taki sposób, że zachowują fundamentalną dla STW geometrię czasoprzestrzeni Minkowskiego niezależnie od inercjalnego układu odniesienia, w którym przeprowadzamy obliczenia. Zatem takie transformacje spełniają postulat względności -- prawa fizyki są takie same w każdym inercjalnym układzie odniesienia.

Zwykłe wektory (zwane kontrawariantnymi) mają znaną nam interpretację geometryczną: jest to prozaiczna 'strzałka.' Algebraicznie wektory zapisujemy w abstrakcyjnej notacji indeksowej jako $v^i$.

Ich odpowiednikami w przestrzeni dualnej, przeprowadzającymi wektory do skalarów, są wektory kowariantne, zwiemy je formami liniowymi. Algebraicznie mają interpretację jako działanie; zapisujemy je jako $w_i$. By uzyskać skalar, notacją indeksową możemy zapisać działanie jako $$w_i v^i.$$

Ale ważne jest mieć też intuicję geometryczną. Formy liniowej używamy np. reprezentując na płaskiej, dwuwymiarowej mapie wysokość przy użyciu konturów topograficznych. Rysujemy na takiej mapie wektor łączący punkt początkowy i punkt końcowy i zliczamy, ile linii topograficznych przekroczyliśmy. Otrzymujemy tak odległość, jaką pokonamy w wymiarze $z$ wzdłuż wejściowego wektora - operację przeprowadzającą wektor w skalar.

Ilustracja (źródła: archimash.com, "Gravitation" Misner/Thorne/Wheeler).

Rotacje można przedstawiać przy użyciu macierzy rotacji, ale alternatywnym sposobem przedstawiania jej są także liczby zespolone.

Te ostatnie są wyjątkowo sprytnym sposobem przeprowadzania operacji rotacji w pamięci.