Zadanie 9

Napisać funkcję rysującą tabelę krzywych Lissajous, t.j. krzywych powstałych przez złożenie dwóch prostopadłych do siebie ruchów harmonicznych.

Krzywe Lissajou są opisane wzorem
x(t)=(sin((Subscript[ω, 1])t),sin((Subscript[ω, 2])t+δ+(π/2))), funkcja powinna rysować krzywe dla (Subscript[ω, 1])=1,...,n i (Subscript[ω, 2])=1,...,m, gdzie δ, n i m ustala użytkownik dla t∈[0,2π]. Na początek proszę założyć δ=0, a następnie proszę wykorzystać funkcję Manipulate dla narysowanej tabelki do wizualizacji wpływu zmiany δ na krzywe. Co dzieje się dla ((Subscript[ω, 1])/(Subscript[ω, 2]))≠(n/m) i dla t=100?

Przydatne funkcje:
ParametricPlot z opcjami 
GraphicsArray

Zadanie 10

Proszę narysować tabelę przedstawiającą węzły fali stojącej dla kwadratowej metalowej płyty (wzory Chladiniego) o rozmiarach π × π. Na początek proszę założyć, że ruch płyty jest opisany wzorem
(Subscript[ψ, n,m])(x,y,t)=(Subscript[B, n,m])(Subscript[A, n,m])(x,y)sin(t(Sqrt[(n^2)+(m^2)]))
gdzie
(Subscript[A, n,m])(x,y)=sin (n x) sin (m y)
(Subscript[B, n,m]) to dowolna stała.
Wobec powyższego, węzły są miejscami zerowymi (Subscript[A, n,m])(x,y). Należy naszkicować krzywe przedstawiające zera funkcji (Subscript[A, n,m])(x,y) używając funkcji ContourPlot dla n=1,..10 i m=1,...,10. 

Dla danej częstości (Subscript[ω, n,m])=(Sqrt[(n^2)+(m^2)]) istnieje kilka (zawsze co najmniej dwie) funkcji amplitud, (można zamienić między sobą n i m, tj (Subscript[A, n,m]) i (Subscript[A, m,n]) odpowiadają tej samej częstości bo (Subscript[ω, n,m])=(Subscript[ω, m,n]). Ile par n i m odpowiada każdej z częstości (Subscript[ω, n,m])? ). Oznacza to, że drgania o częstości (Subscript[ω, n,m]) można ogólniej zapisać (zakładając, że tylko dwie amplitudy odpowiadają danej częstości) jako sumę

(Subscript[ψ, ω])(x,y,t)=(Subscript[ψ, n,m])(x,y,t)+(Subscript[ψ, m,n])(x,y,t)=((Subscript[B, n,m])(Subscript[A, n,m])(x,y)+(Subscript[B, m,n])(Subscript[A, m,n])(x,y))sin(t (Subscript[ω, n,m])).

Stałe (Subscript[B, n,m]) i(Subscript[B, m,n]) można zapisać jako (Subscript[B, n,m])=B sin(δ) (Subscript[B, m,n])=B cos(δ) gdzie B∈[0,∞) a δ∈[0,2π), wtedy

(Subscript[ψ, ω])(x,y,t)=B(sin(δ)(Subscript[A, n,m])(x,y)+cos(δ)(Subscript[A, m,n])(x,y))sin(t (Subscript[ω, n,m]))=B A(x,y,δ,ω)sin(t (Subscript[ω, n,m])).
A(x, y, δ, ω)=sin(δ)(Subscript[A, n,m])(x,y)+cos(δ)(Subscript[A, m,n])(x,y)

Można teraz odczytać funkcję amplitudy dla (Subscript[ψ, ω]) jako A(x,y,δ,n,m), której zera (względem x i y) w zależności od wyboru parametrów δ, n i m należy narysować przy pomocy funkcji Manipulate (z δ,n,m jako parametrami).

(nieobowiązkowe)
Odpowiednio manipulując parametrem δ można umieścić węzeł w dowolnym punkcie na krawędzi metalowej płyty. Proszę napisać funkcję, która dla danego punktu na krawędzi płyty (powiedzmy, że wybieramy zawsze prawą krawędź a punkt jest oddalony od górnej krawędzi płyty o a) zwróci taką wartość parametru δ(a) by węzeł pojawił się w wybranym punkcie. Następnie proszę użyć funkcji Manipulate z parametrami n,m i a by narysować węzły dla płyty przytrzymanej palcem w punkcie określonym przez parametr a.